常用対数で桁数を求める方法｜例題付きでわかりやすく解説！

正の数Nの「整数部分はn桁」

正の数Nの「整数部分がn桁」というのは、ある数が「10^n-1以上、10ⁿ未満」であることを意味します。

整数部分が1桁：1～9.99・・・（10⁰ ≦ N ＜ 10¹）
整数部分が2桁：10～99.99・・・（10¹ ≦ N ＜ 10²）
整数部分が3桁：100～999.99・・・（10² ≦ N ＜ 10³）
整数部分がn桁：（10^n-1 ≦ N ＜ 10ⁿ）

たとえば、N＝20.25とすると、整数部分20は、2桁です。

常用対数の不等式｜n－1≦log₁₀N<n

正の数Nの「整数部分がn桁」は、次の不等式で表せることは確認できましたね。

10^n-1 ≦ N ＜10ⁿ・・・（ア）

ここで各辺の常用対数をとると、

log₁₀10^n-1≦log₁₀ N＜log₁₀10ⁿ・・・（イ）

よって、

n－1≦log₁₀N<n・・・（ウ）

以上（ア）（イ）（ウ）の式を使って、問題をどのように解いていくのか解説していきます。

例題｜3⁵⁰は何桁の整数？

それでは実際に、常用対数を使って「3⁵⁰が何桁の整数か」を求めてみましょう。

3⁵⁰の常用対数をとる

まず「3⁵⁰の常用対数」をとります。

log₁₀3⁵⁰＝50×log₁₀3
　　　　　 ＝50×0.4771
＝23.855

log₁₀3⁵⁰を不等式で表す

23.855は、23と24の間になります。

23＜23.855＜24

よって、

23＜log₁₀3⁵⁰＜24

この不等式は、（ウ）式「n－1≦log₁₀N<n」と同じです。

この不等式は「正の数Nの整数部分がn桁」を意味するということを覚えていれば、この時点で答えは24桁だとわかります。

しかし、覚えていなくても以下のようにやれば解けます。

log₁₀10＝１なので、

23log₁₀10＜log₁₀3⁵⁰＜24log₁₀10
log₁₀10²³＜log₁₀3⁵⁰＜log₁₀10²⁴・・・（イ）式と同じ形

底10＞０より、

10²³＜3⁵⁰＜10²⁴・・・（ア）式と同じ形

したがって、3⁵⁰は24桁の整数。

この時点で「23桁なのか24桁なのか」思い出せないなら、「10≦N＜10²」で考えましょう。

Nの整数部分は2桁だとすぐにわかります。